Question

设F是抛物线G：x²=4y的焦点．
（I）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程；
（II）过抛物线G的焦点F，作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于A，C，B，D点，求四边形ABCD面积的最小值．

Answer

（I）由题设切线y=kx-4，又x2=4y联立得x2-4kx+16=0，由△=0即16k2-4×16=0，解得k=±2，由此能求出切线方程．
（II）由题意，直线AC斜率存在，由对称性，k＞0，AC：y=kx+1，x2-4kx-4=0，又x2=4y，x1+x2=4kx1•x2=-4，所以=4（1+k2），同理，=，由此能导出Smin=32．
【解析】
（I）由题设切线y=kx-4（k显然存在）
又x2=4y联立得x2-4kx+16=0
∴△=0即16k2-4×16=0，解得k=±2
∴切线方程为y=±2x-4
（II）由题意，直线AC斜率存在，又对称性，不妨k＞0
∴AC：y=kx+1∴x2-4kx-4=0
又x2=4y
∴x1+x2=4kx1•x2=-4
∴=4（1+k2）
同理
∴=
当k=1时，“=”成立，∴Smin=32