Question

已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，P是椭圆上一动点，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，且△PF₁F₂面积的最大值为．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若直线l为圆的切线，且直线l交椭圆C于A、B两点，求的值．

Answer

（I）设出椭圆C的标准方程，根据椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，P是椭圆上一动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且△PF1F2面积的最大值为．分别求出a，b的值，即可得到椭圆C的方程；
（II）由直线l为圆的切线，分斜率存在和不存在两种情况，设A（x1，y1）B（x2，y2），构造方程，利用“设而不求”“联立方程”“韦达定理”，求出满足条件的点的的表达式，即可确定的值．
【解析】
（I）设
∴
又
解得a=2，b=1
∴
（II）当l斜率存在时，设l：y=kx+m代入椭圆方程得（1+4k2）x2+8mkx+4m2-4=0△＞0设A（x1，y1）B（x2，y2）
∴
∴y1•y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
又l与圆C相切，
∴
∴
当l斜率不存在时，
易解得：或
∴
综上