Question

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2．E、F分别为线段AB、D₁C上的点．
（I）若E、F分别为线段AB、D₁C的中点，求证：EF∥平面AD₁；
（II）已知二面角D₁-EC-D的大小为，求AE的值．

Answer

（Ⅰ）欲证EF∥平面AD1，可利用平面EFG∥平面AD1进行证明，取DC的中点G，连接FG，GE，而FG∥DD1，DD1⊂平面AD1，根据线面平行的判定定理可知FG∥平面AD1，同理可证GE∥平面AD1，且FG∩GE=G，从而平面EFG∥平面AD1，EF⊂平面EFG，根据面面平行的性质可知EF∥平面AD1；
（Ⅱ）根据D1D⊥平面ABCD，过D在平面ABCD内作DH⊥EC于H，连接D1H，而DH是D1H在平面ABCD内的射影，则∠DHD1为二面角D1-EC-D的平面角，在△DHD1中，根据tan∠DHD1值求出DH，根据面积求出EC，最后根据EC2=1+EB2求出所求即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：取DC的中点G，连接FG，GE．
∵FG∥DD1，DD1⊂平面AD1，
∴FG∥平面AD1．
同理：GE∥平面AD1，且FG∩GE=G，
∴平面EFG∥平面AD1，EF⊂平面EFG，
∴EF∥平面AD1．
（Ⅱ）D1D⊥平面ABCD，过D在平面ABCD内作DH⊥EC于H，连接D1H．
∵DH是D1H在平面ABCD内的射影，
∴D1H⊥EC．
∴∠DHD1为二面角D1-EC-D的平面角．
即∠DHD1=．
在△DHD1中，tan∠DHD1=，
∴，S△DEC=，
∴，
∴EC2=1+EB2，
∴，
∴．