Question

已知函数f（x）=2ax³-3ax²+1，．（a∈R）
（I）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；
（II）若任意给定的x∈[0，2]，在[0，2]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x）成立，求a的取值范围．

Answer

（I）由题意先把a代入使得函数f（x）具体，再利用导函数求其单调区间；
（II）由题意可以把问题转化为求函数f（x）和函数g（x）的值域，并有题意转化为两个函数的值域的关系问题．
【解析】
（I）f'（x）=6x2-6x=6x（x-1）．
由f'（x）＞0，得x＞1或x＜0；
由f'（x）＜0，得0＜x＜1；
故函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0]，[1，+∞）；
单调递减区间是[0，1]．
（II）f′（x）=6ax2-6ax=6ax（x-1）．
①当a=0时，显然不可能；
②当a＞0时，函数f（x）的变化情况如下表所示

又因为当上是减函数，
对任意，不合题意；
③当a＜0时，函数f（x）的变化情况如下表所示

又因为当在[0，2]上是增函数，
对任意，
由题意可得，＜1-a
∴a＜-1
综上，a的取值范围为（-∞，-1）．