Question

△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且
（1）求∠B的大小；
（2）若a=4，，求b的值．

Answer

（1）根据正弦定理化简已知的等式，然后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，提取sinA，可得sinA与1+2sinB至少有一个为0，又A为三角形的内角，故sinA不可能为0，进而求出sinB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由第一问求出的B的度数求出sinB和cosB的值，再由a的值及S的值，代入三角形的面积公式求出c的值，然后再由cosB的值，以及a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．
【解析】
（1）由正弦定理得：===2R，
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入已知的等式得：，
化简得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB
=2sinAcosB+sin（C+B）=2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，
又A为三角形的内角，得出sinA≠0，
∴2cosB+1=0，即cosB=-，
∵B为三角形的内角，∴；
（2）∵a=4，sinB=，S=5，
∴S=acsinB=×4c×=5，
解得c=5，又cosB=-，a=4，
根据余弦定理得：
b2=a2+c2-2ac•cosB=16+25+20=61，
解得b=．