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已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为,离心率,M是椭圆上的动点 (Ⅰ)若C,...

已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为manfen5.com 满分网,离心率manfen5.com 满分网,M是椭圆上的动点
(Ⅰ)若C,D的坐标分别是manfen5.com 满分网,求|MC|•|MD|的最大值;
(Ⅱ)如题(20)图,点A的坐标为(1,0),B是圆x2+y2=1上的点,N是点M在x轴上的射影,点Q满足条件:manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网、求线段QB的中点P的轨迹方程.

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(Ⅰ)由题设条件知焦点在y轴上,故设椭圆方程为(a>b>0).设,由准线方程.由此能够求出椭圆方程.从而得到点M的坐标为(±1,0)时上式取等号,|MC|•|MD|的最大值为4. (II)设M(xm,ym),B(xB,yB)Q(xQ,yQ).因为,故xQ=2xN,yQ=yM,xQ2+yQ2=(2xM)2+yy=4.因为,(1-xQ-yQ)•(1-xN-yn)=(1-xQ)(1-xN)+yQyN=0,所以xQxN+yQyN=xN+xQ-1.由此可导出动点P的轨迹方程为. 【解析】 (Ⅰ)由题设条件知焦点在y轴上, 故设椭圆方程为(a>b>0). 设,由准线方程得. 由得,解得a=2,c=, 从而b=1,椭圆方程为. 又易知C,D两点是椭圆的焦点, 所以,|MC|+|MD|=2a=4 从而|MC|•|MD|, 当且仅当|MC|=|MD|, 即点M的坐标为(±1,0)时上式取等号,|MC|•|MD|的最大值为4. (II)如图(20)图,设M(xm,ym),B(xB,yB)Q(xQ,yQ). 因为, 故xQ=2xN,yQ=yM,xQ2+yQ2=(2xM)2+yy=4① 因为, (1-xQ-yQ)•(1-xN-yn) =(1-xQ)(1-xN)+yQyN=0, 所以xQxN+yQyN=xN+xQ-1.② 记P点的坐标为(xP,yP),因为P是BQ的中点 所以2xP=xQ+xP,2yP=yQ+yP 由因为xN2+yN2=1,结合①,②得 = == 故动点P的轨迹方程为
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考点分析:
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其中,真命题的编号是    .(写出所有真命题的编号) 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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