Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（2，1），B（-1，1），若点P满足，其中α，β∈R且2α²+β²=． 
1）求点P的轨迹C的方程.2）设D（0，2），过D的直线L与曲线C交于不同的两点M、N，且M点在D，N之间，设，求λ的取值范围．

Answer

1）设P（x，y），由条件，x、y可由α和β表达，反解出α和β代入2α2+β2=．可得x和y的关系式，此即为点P的轨迹C的方程
2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由可得x1=λx2，
设出直线l的方程，与椭圆联立、消元、维达定理，
【解析】
1）设P（x，y），由条件，得，代入2α2+β2=．
可得，此即为点P的轨迹C的方程
2）当直线l斜率存在时，设l：y=kx+2，代入椭圆方程得：
（1+2k2）x2+8kx+6=0
因为直线L与曲线C交于不同的两点M、N，
所以△＞0，解得
设M（x1，y1），N（x2，y2），
由维达定理可得x1+x2=，x1x2=
由可得x1=λx2代入上式可得

因为，所以，解得且λ≠1
当直线l斜率不存在时，
又因为M点在D，N之间，所以0＜λ＜1
所以λ的取值范围是