Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，D为BC中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求证：C₁A⊥B₁C．
（Ⅲ）若AC=2，求点C到平面C₁AD的距离．

Answer

（I）欲证A1B∥平面ADC1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1B与平面ADC1内一直线平行，连接A1C交C1A与点O，连接DO，根据中位线定理可知BO∥A1B，而A1B⊄平面ADC1，BO⊂平面ADC1，满足定理所需条件；
（II）由（I）可知C1A⊥A1C，A1B1⊥C1A而A1B1∩A1C=A1，根据线面垂直的判定定理可知C1A⊥平面A1B1C，而B1C⊂平面A1B1C，根据线面垂直的性质可知C1A⊥B1C；
（III）根据题意可知CC1⊥面ABC，求出S△ACD与S△AC1D，设点C到平面C1AD的距离为d，最后根据等体积法VC-C1AD=VC1-CAD建立等式关系，求出d即可求出所求．
证明：（I）连接A1C交C1A与点O，连接DO
∵ACC1A1均为正方形∴点O为A1C的中点
而D为BC中点∴DO∥A1B
而A1B⊄平面ADC1，DO⊂平面ADC1，
∴A1B∥平面ADC1；
（II）由（I）可知C1A⊥A1C，而AB⊥平面ACC1A1，
而C1A⊂平面ACC1A1，则AB⊥C1A，而A1B1∥AB
∴A1B1⊥C1A而A1B1∩A1C=A1，
∴C1A⊥平面A1B1C，而B1C⊂平面A1B1C
∴C1A⊥B1C．
（III）根据题意可知CC1⊥面ABC，
S△ACD=1，AC1=2，AD=，C1D=
∴S△AC1D==
设点C到平面C1AD的距离为d
VC-C1AD=VC1-CAD=×1×2=××d
解得：d=
∴点C到平面C1AD的距离为