Question

已知函数f（x）=，设f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n∈N^*），若集合M={x∈R|f₂₀₀₉（x）=2x+}，则集合M中的元素个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．无穷多个

Answer

根据fn+1（x）=f[fn（x）]分别求出f1（x），f2（x），f3（x），f4（x）发现函数列{fn（x）}是以3为周期的函数列，进而可知f2009（x）=f2（x），求得x，最后可判断出集合M的元素．
【解析】
依题意得f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=x，f4（x）=f1（x），，
即函数列{fn（x）}是以3为周期的函数列，注意到2009=3×669+2，因此f2009（x）=f2（x）=．
由=2x+得2x（x+1）=0，又x+1≠0，因此x=0，集合M中的元素个数是1，
故选B．