Question

已知数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，且a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设数列的前n项和为S_n，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由题设条件知a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，由此可知a2=2．
（2）由题意知，an+13=（a1+a2++an+an+1）2-（a1+a2++an）2，由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2++an）+an+1．同样有an2=2（a1+a2++an-1）+an（n≥2），由此得an+12-an2=an+1+an．所以an+1-an=1．所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
（3）由（2）知an=n，则．再用裂项求和法能够推导出实数a的取值范围．
（1）【解析】
当n=1时，有a13=a12，
由于an＞0，所以a1=1．
当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，
将a1=1代入上式，由于an＞0，所以a2=2．
（2）【解析】
由于a13+a23++an3=（a1+a2++an）2，①
则有a13+a23++an3+an+13=（a1+a2++an+an+1）2．②
②-①，得an+13=（a1+a2++an+an+1）2-（a1+a2++an）2，
由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2++an）+an+1．③
同样有an2=2（a1+a2++an-1）+an（n≥2），④
③-④，得an+12-an2=an+1+an．
所以an+1-an=1．
由于a2-a1=1，即当n≥1时都有an+1-an=1，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
故an=n．
（3）【解析】
由（2）知an=n，则．
所以===．
∵，
∴数列{Sn}单调递增．
所以．
要使不等式对任意正整数n恒成立，只要．
∵1-a＞0，∴0＜a＜1．
∴1-a＞a，即．
所以，实数a的取值范围是．