Question

已知函数y=f（x）是定义在R上恒不为0的单调函数，对任意的x，y∈R，总有f（x）f（y）=f（x+y）成立，若数列{a_n}的n项和为S_n，且满足a₁=f（0），（n∈N^*），则S_n=    ．

Answer

首先求出特殊值f（0），然后结合f（x）f（y）=f（x+y）把已知条件变形为an+1与an的关系式，进一步整理得数列{an+3n+1}为等比数列，再运用等比数列通项公式求得an，最后分别运用等比数列前n项和公式求得Sn．
【解析】
因为任意的x，y∈R，总有f（x）f（y）=f（x+y）成立，
所以f（0）f（0）=f（0），即f（0）•（f（0）-1）=0，
解得f（0）=1，即a1=1，
又f（an+1）•f（3n+1-2an）=1，即f（an+1+3n+1-2an）=f（0），
所以an+1+3n+1-2an=0，
则an+1+3n+1+2×3n+1=2an+2×3n+1，，即=2，
所以数列{an+3n+1}是首项为10，公比为2的等比数列，
则an+3n+1=10×2n-1，即an=5×2n-3n+1，
所以Sn=5×-=．
故答案为．