Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n-n²+3n（n∈N⁺），
（1）是否存在常数λ，μ，使得数列{a_n+λn²+μn}是等比数列，若存在，求λ，μ的值，若不存在，说明理由；
（2）设b_n=a_n-n²+n（n∈N⁺），数列{b_n}的前n项和为S_n，是否存在常数c，使得lg（S_n-c）+lg（S_n+2-c）=2lg（S_n+1-c）成立？并证明你的结论；
（3）设，T_n=c₁+c₂+…+c₃，证明＜T_n＜（n≥2）．

Answer

（1）由题意知an+1=2an+λn2+（μ-2λ）n-λ-μ，故，所以存在，使得数列{an+λn2+μn}是等比数列．
（2）由题意得bn=2n-1，要使得lg（Sn-c）+lg（Sn+2-c）=2lg（Sn+1-c）成立，则有c=-1，所以，存在常数c=-1，使得lg（Sn-c）+lg（Sn+2-c）=2lg（Sn+1-c）成立．
（3）由题意知，，所，由此可证明＜Tn＜（n≥2）．
【解析】
（1）设an+1=2an-n2+3n可化为an+1+λ（n+1）2+μ（n+1）=2（an+λn2+μn），
即an+1=2an+λn2+（μ-2λ）n-λ-μ，
故，得，
又a1-12+1≠0，所以存在，使得数列{an+λn2+μn}是等比数列；
（2）由（1）得an-n2+n=（a1-12+1）•2n-1，得an=2n-1+n2-n，所以bn=2n-1，
要使得lg（Sn-c）+lg（Sn+2-c）=2lg（Sn+1-c）成立，
则有，得c=-1，
所以，存在常数c=-1，使得lg（Sn-c）+lg（Sn+2-c）=2lg（Sn+1-c）成立；
（3）证明：因为an=2n-1+n2-n，
所以，
而，
所以，
又当n=2时，，符合；
当n≥3时，，
得；
综上，＜Tn＜（n≥2）得证．