Question

圆C的半径为3，圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为．
（1）求圆C的方程；
（2）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为可得圆心到x轴的距离为1，则可知C（1，-2），从而可得圆C的方程
（2）设L的方程y=x+b，以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，联立直线方程与圆的方程，由△=（2+2b）2-4×2（b2+4b-4）＞0 可得＜b＜，由方程的根与系数的关系代入x1x2+y1y2=0，可求b，从而可求直线方程
【解析】
（1）如图由圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为可得圆心到x轴的距离为2
∴C（1，-2）
∴圆C的方程是（X-1）2+（Y+2）2=9--（4分）
（2）设L的方程y=x+b，以AB为直径的圆过原点，则
OA⊥OB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则
x1x2+y1y2=0      ①---------------（6分）
由得2x2+（2b+2）x+（b2+4b-4）=0----------（8分）
要使方程有两个相异实根，则
△=（2+2b）2-4×2（b2+4b-4）＞0  即＜b＜---------（9分）
---------------------------（10分）
由y1=x1+b，y2=x2+b，代入x1x2+y1y2=0，得2x1x2+（x1+x2）b+b2=0-------（12分）
即有b2+3b-4=0，b=-4，b=1---------------------------------（13分）
故存在直线L满足条件，且方程为y=x-4或y=x+1----------------------（14分）