Question

如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，点P是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角板锯成△AMN．问：
（1）求直线MN的方程
（2）求点M，N的坐标
（3）应如何确定直线MN的斜率，可使锯成的△AMN的面积最大？

Answer

（1）依题意得直线MN过点P且其斜率存在，由直线的点斜式方程可写出答案；
（2）根据题意，M为OA与MN的交点，N为AB与MN的交点，易得OA、OB的方程，由（1）中所得的MN的方程，结合两直线交点的求法，联立直线的方程，易得M、N的坐标；
（3）先根据三角形面积公式写出S△AMN关于k的关系式，设t=1-k，则，转化为求f（t）的最大值问题，用作差法判断出f（t）在是增函数，即t=时，f（t）取得最大值，将t=代入f（t）中，可得答案．
【解析】
（1）依题意得直线MN过点P且其斜率存在，则MN方程为：．
（2）∵AB⊥OB，|AB|=|OB|=1，
∴直线OA方程为：y=x 直线AB方程为：x=1，
由，可得，
且，可得k≥1或k≤，
又由得且，
可得k≤，
∴；
故，
（3）S△AMN==．
设，．
当时，f（t1）-f（t2）==．
∵，∴t1t2＞0，t1-t2＜0，4t1t2-1＞0，
∴f（t1）-f（t2）＜0，即f（t1）＜f（t2）．
∴f（t）在是增函数，
∴当时，，即当1-k=时即k=时，
S△max=．