Question

已知函数f（x）=x（x-c）²在x=2处有极大值．
（1）求c的值；
（2）若x∈[0，9]，求函数f（x）的最值
（3）是否存在实数k，使得对∀x₁，x₂∈[0，9]恒有f（x₁）-f（x₂）＜k成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由函数在x=2处有极大值得到f′（x）=（x-c）2+2x（x-c）=0解出c的值即可；
（2）在区间[0，9]上，利用c的值加上函数的驻点来分区间讨论函数的增减性得到函数的最值；
（3）对∀x1，x2∈[0，9]恒有f（x1）-f（x2）＜k成立意思是当k大于f（x1）-f（x2）的最大值即为恒成立，即当f（x1）最大，f（x2）最小时f（x1）-f（x2）有最大值，即可得到k的取值范围．
【解析】
（1）函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，
令f′（x）=（x-c）2+2x（x-c）=0得到x=c或x=，
则c=2或c=6；
（2）由c=6得f（x）=x（x-6）2，f′（x）=3（x-6）（x-2）
当f′（x）＞0即x∈[0，2）∪（6，9]，f（x）为递增函数；当f′（x）＜0即x∈（2，6）时，f（x）为递减函数．
所以f（x）max=f（2）=32，f（x）min=f（6）=0；
由c=2得f（x）=x（x-2）2，f′（x）=3（x-）（x-2）
当f′（x）＞0即x∈[0，）∪（2，9]，f（x）为递增函数；当f′（x）＜0即x∈（，2）时，f（x）为递减函数．
所以f（x）max=f（）=，f（x）min=f（2）=0；
（3）找出f（x1）-f（x2）的最大值，当c=6时，f（x1）-f（x2）=f（x）max-f（x）min=32-0=32，则k＞32；
当c=2时，f（x1）-f（x2）=f（x）max-f（x）min=，则k＞