Question

如图，在矩形ABCD内，两个圆M、N分别与矩形两边相切，且两圆互相外切．若矩形的长和宽分别为9和8，试把两个圆的面积之和S表示为圆M半径x的函数关系式，并求S的最大值和最小值．

Answer

由图形利用勾股定理建立两圆半径的关系式，利用面积公式得到面积关于关于圆M半径x的函数，利用二次函数在某个区间上的最值的求法来求得最值．
【解析】
设圆N的半径为r，
过点M，N分别作矩形两边的平行线，易知：[9-（x+r）]2+[8-（x+r）]2=（x+r）2，
解得：x+r=5或x+r=29（舍）
因而S=πx2+πr2=π（2x2-10x+25）．
又，则1≤x≤4，
易知：当时，；
当x=1或x=4时，Smax=17π．
故，Smax=17π．