Question

已知函数f（x）=ln（x+1），．
（1）求h（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）求证：当-1＜x₁＜0＜x₂时，f（x₁）g（x₂）-f（x₂）g（x₁）＞0；
（3）求证：f²（x）-xg（x）≤0恒成立．

Answer

（1）先确定函数的定义域然后求导数hˊ（x），在函数的定义域内解不等式hˊ（x）＞0和hˊ（x）＜0，求出单调区间．
（2）根据导函数的正负性研究单调性得f（x）、g（x）在（-1，+∞）上均单调递增，再结合同向不等式的乘法性质即可证得；
（3）令F（x）=f2（x）-xg（x），进一步利用导数研究其单调性，得F（x）在（0，+∞）上单调递减，从而证得结果．
【解析】
（1），x＞-1，，
令h/（x）＜0，得：-1＜x＜0，则h（x）在（-1，0）上单调递减；
令h/（x）＞0，得：x＞0，则h（x）在（0，+∞）上单调递增．
故增区间为（0，+∞），减区间为（-1，0）．
（2）由（1）知h（x）min=h（0）=0，
则当x＞-1时f（x）≥g（x）恒成立．，，
则f（x）、g（x）在（-1，+∞）上均单调递增．
易知：0＞f（x1）＞g（x1），f（x2）＞g（x2）＞0，
则-f（x2）g（x1）＞-f（x1）g（x2），
即：f（x1）g（x2）-f（x2）g（x1）＞0．
（3），
令，
则，
令G（x）=2（x+1）ln（x+1）-（x2+2x），
则G/（x）=2ln（x+1）-2x，
令H（x）=2ln（x+1）-2x，
则．
当-1＜x＜0时，H/（x）＞0，则H（x）在（-1，0）上单调递增；
当x＞0时，H/（x）＜0，则H（x）在（0，+∞）上单调递减，
故H（x）≤H（0）=0，即G/（x）≤0，
则G（x）在（-1，+∞）上单调递减．
当-1＜x＜0时，G（x）＞G（0）=0，
即F/（x）＞0，则F（x）在（-1，0）上单调递增；
当x＞0时，G（x）＜G（0）=0，
即F/（x）＜0，则F（x）在（0，+∞）上单调递减，
故F（x）≤F（0）=0，
即f2（x）-xg（x）≤0．