Question

某资料室在计算机使用中，如表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的通项公式为    ；编码100共出现    次．

1	1	1	1	1	1	…
1	2	3	4	5	6	…
1	3	5	7	9	11	…
1	4	7	10	13	16	…
1	5	9	13	17	21	…
1	6	11	16	21	26	…
…	…	…	…	…	…	…

Answer

（1）观察主对角线上述列每一项都是前几项的和，可发现an=（n-1）2+1，将各项代入验证，可得递推式．
（2）观察可得，第一列自然数，所以会出现100，第二个是单数，不会出现100，第三个观察可知an=an-1+3，则an=a1+3（n-1）=3n-2可出现100，而后面的公差分别为4，5，6等等．因此不可能出现100．而横列会出现3次，总共会出现6次．
【解析】
（1）观察主对角线上述列每一项都是前几项的和，可发现an=（n-1）2+1，
故答案为an=n2-2n+2，n∈N*
（2）由编码可得，第m行是首项为1，公差为m-1的等差数列，
则第m行的第n个数为1+（n-1）（m-1），令m=n，
则有an=1+（n-1）（n-1）=n2-2n+2，n∈N*，
第一列自然数，所以会出现100，第二个是单数，不会出现100，
第三个公差为3，计算公式为an=3（n-1）-1，故可以出现100．
故答案为6．