Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c的图象与y轴交于点（0，2），并且在x=1处切线的方向向量为．
（1）若是函数f（x）的极值点，求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[]单调递增，求实数b的取值范围．

Answer

（1）由题意可得：C=2，f′（1）=3+2a+b=3并且f′（）=++b=0，所以可得：a=2，b=-4，c=2．
（2）由题意可得：2a=-b，所以f′（x）=3x2-bx+b，根据函数f（x）在区间[]单调递增，可得在[]上恒成立，再利用函数求最值得方法求出g（x）=的最小值，即可得到答案．
【解析】
（1）由题意可得：f′（x）=3x2+2ax+b，
因为函数的图象与y轴交于点（0，2），
所以C=2…①
又因为在x=1处切线的方向向量为，
所以f′（1）=3+2a+b=3…②
因为是函数f（x）的极值点，
所以f′（）=++b=0…③
由①②③可得：a=2，b=-4，c=2．
所以f（x）=x3+a=2x2-4x+2．
（2）由题意可得：c=2，并且2a=-b，所以f′（x）=3x2-bx+b，
因为函数f（x）在区间[]单调递增，
所以f′（x）=3x2-bx+b≥0在[]上恒成立，
即在[]上恒成立，
令g（x）=，x∈[]，
所以g（x）=3×=3×≥12，
当且仅当，即x=2时，g（x）有最小值为12．
所以b≤g（x）min=12，
所以实数b的取值范围（-∞，12]．