Question

若数列{a_n}的前n项和S_n是（1+x）ⁿ二项展开式中各项系数的和（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1），且c_n=，求数列{c_n}的通项及其前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由题意Sn=2n，由项与前n项和的关系an=得{an}的通项公式；
（Ⅱ）由bn+1=bn+（2n-1）得bn+1-bn=2n-1，令n=1、2、3、…n-1得n-1个式子，以上各式相加得bn-b1=1+3+5+…+（2n-3），可求bn=n2-2n，进而求cn，由错位相减法得数列{cn}的通项及其前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）由题意Sn=2n，Sn-1=2n-1（n≥2），
两式相减得an=2n-2n-1=2n-1（n≥2）．
当n=1时，a1=S1=2，
∴an=．
（Ⅱ）∵bn+1=bn+（2n-1），
∴bn-bn-1=2n-3
bn-1-bn-2=2n-5
…
b4-b3=5
b3-b2=3
b2-b1=1，
以上各式相加得bn-b1=1+3+5+…+（2n-3）
==（n-1）2
∵b1=-1，∴bn=n2-2n．
∴．
∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+…+（n-2）×2n-1，
∴2Tn=-4+0×22+1×23+2×24+…+（n-2）×2n．
∴-Tn=2+22+23+…+2n-1-（n-2）×2n
=
=2n-2-（n-2）×2n=-2-（n-3）×2n．
∴Tn=2+（n-3）×2n．