Question

设正实数a，b满足等式2a+b=1且有2-4a²-b²≤t-恒成立，则实数t的取值范围是    ．

Answer

正实数a，b满足等式2a+b=1⇒4a2+b2=1-4ab，故有2-4a2-b2≤t-恒成立⇔t≥2-（1-4ab）+=4ab+2-=4 -恒成立，故t需大于或等于4-的最大值，由基本不等式可求得的最大值，从而得到4-的最大值，问题解决了．
【解析】
∵a＞0，b＞0，2a+b=1，
∴4a2+b2=1-4ab，
∴2-4a2-b2≤t-恒成立可转化为：t≥2-（1-4ab）+恒成立；
又2-（1-4ab）+=4ab+2-=4 -，
∴t≥（a＞0，b＞0，2a+b=1），
由基本不等式可得：1=2a+b≥2，故≤（当且仅当2a=b=时取“=”），
∴=4-=-=．
故答案为：．