Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意n∈N^*，都有a_n是n与S_n的等差中项，
（1）求证：a_n=2a_n-1+1（n≥2）；
（2）求证：．

Answer

（1）根据an是n与Sn的等差中项建立等式关系2an=Sn+n，根据递推关系得到当n≥2时，2an-1=Sn-1+n-1，将两式作差整理可得结论；
（2）由（1）知an+1=2（an-1+1），从而得到{an+1}是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列，求出其通项公式，然后利用放缩法得，最后利用等比数列求和公式进行求和，证得结论．
证明：（1）∵an是n与Sn的等差中项
∴2an=Sn+n，
所以当n=1时，a1=1，
当n≥2时，2an-1=Sn-1+n-1，
两式作差：2an-2an-1=Sn-Sn-1+1=an+1，
整理得：an=2an-1+1，n≥2．
（2）由（1）知，an+1=2（an-1+1），
所以{an+1}是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列，
an+1=2n，所以an=2n-1，所以：
当n=1时，成立，
当n≥2时，an=2n-1＞2n-1，
故，
所以：