Question

已知双曲线x²-y²=1及点A（，0）．
（1）求点A到双曲线一条渐近线的距离；
（2）已知点O为原点，点P在双曲线上，△POA为直角三角形，求点P的坐标．

Answer

（1）双曲线的一条渐近线是x-y=0，由点到直线距离公式可求出双曲线的A点到一条渐近线的距离．
（2）根据，△POA为直角三角形，分两种情况讨论：当∠OAP=90°，时，点P的横坐标为，代入双曲线x2-y2=1即得；当∠OPA=90°，时，点P的坐标为（x，y），
则有：（x-）2+y2=，与方程x2-y2=1联立可得．
【解析】
（1）双曲线的一条渐近线是x-y=0，
由点到直线距离公式，A点到一条渐近线的距离是 ；
（2）当∠OAP=90°，时，点P的横坐标为，代入双曲线x2-y2=1得：y=，
∴点P的坐标（，）．
当∠OPA=90°，时，点P的坐标为（x，y），
则有：（x-）2+y2=，与方程x2-y2=1联立得：

∴点P的坐标（2，）．