Question

已知函数y=f（x），x∈R，有下列4个命题：
①若f（1+2x）=f（1-2x），则f（x）的图象自身关于直线x=1对称；
②f（x-1）与f（1-x）的图象关于直线x=1对称；
③若f（x）为偶函数，且f（1+x）=-f（x），则f（x）的图象自身关于直线x=1对称；
④若f（x）为奇函数，且f（x）=f（-x-2），则f（x）的图象自身关于直线x=1对称；
其中正确命题的序号为（ ）
A．①③
B．②④
C．①②③
D．①②③④

Answer

利用奇偶函数的定义和性质，得f（-x）与f（x）的关系，再利用函数图象关于直线x=a对称的条件f（2a-x）=f（x）
可以探讨各命题是否正确．
【解析】
∵f（1+2x）=f（1-2x），令t=2x∴f（1+t）=f（1-t）∴函数f（x）的图象自身关于直线x=1对称∴①对
∵f（x）的图象向右平移1个单位，可得f（x-1）的图象，将f（x）的图象关于y轴对称得f（-x）的图象，然后将其图象向右平移1个单位得f（1-x）的图象，∴f（x-1）与f（1-x）的图象关于直线x=1对称∴②对．
∵f（1+x）=-f（x），∴f（2+x）=f（x）
∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）∴f（2+x）=f（-x）∴f（x）的图象自身关于直线x=1对称∴③对．
∵f（x）为奇函数，且f（x）=f（-x-2）
∴f（x+2）=-f（x）=f（-x）∴f（x）的图象自身关于直线x=1对称
∴④对．
故选D