Question

已知函数f（x）=2x³+ax与g（x）=bx²+c的图象都过点P（2，0），且在点P处有相同的切线．
（ I）求实数a，b，c的值；
（ II）设函数F（x）=f（x）+g（x），求函数F（x）的单调区间．

Answer

（I）欲求实数a，b，c的值，只须求出切线斜率的值，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用斜率相等及都过点P列出等量关系，从而问题解决．
（II）欲求函数F（x）=f（x）+g（x），求函数F（x）的单调区间，利用导数来解决．先求出F（x）的导数，根据F′（x）＞0求得的区间是单调增区间，F′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可．
【解析】
（ I）由题设知：

实数a，b，c的值分别为：-8，4，-16．
（ II）F（x）=2x3+4x2-8x-16F′（x）=6x2+8x-8
令F′（x）=6x2+8x-8＞0得或x＜-2
令F′（x）=6x2+8x-8＜0得
所以F（x）递增区间为
递减区间为．