Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个焦点与点A关于直线y=x对称．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）和线段AB的中点，求直线l在y轴上截距b的取值范围．

Answer

（I）设出双曲线的渐近线方程，写出圆的方程，利用直线与圆相切的充要条件：圆心到切线的距离等于半径列出关于斜率的方程，求出渐近线斜率，根据渐近线的斜率判断出是等轴双曲线，根据双曲线三个参数的关系求出双曲线方程
（II）将直线方程与双曲线的方程联立消去y得到关于x的二次方程，利用韦达定理求出两个交点横坐标的和及积，令和小于0积大于0求出m的范围，同时求出两个交点中点的坐标，利用两点式求出另一条直线的方程，令x=0得到纵截距，看成关于m的函数，求出函数的值域即纵截距的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，
又该直线与圆相切
所以 
可设双曲线C的方程为
又双曲线C的一个焦点为（，0），
所以2a2=2⇒a2=1
所求双曲线C的方程为  x2-y2=1
（Ⅱ）由 

线段AB的中点为
所以 直线l在y轴上截距b．