Question

如下四个函数：
①f（x）=sinx②f（x）=x²+2x-1③f（x）=-x³+4x+2④
性质A：存在不相等的实数x₁、x₂，使得
性质B：对任意0＜x₂＜x₃＜1，总有f（x₁）＜f（x₂）
以上四个函数中同时满足性质A和性质B的函数个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

由于性质B，即单调性的检验更易于进行，所以先检验它们的单调性，其中函数f（x）=-x3+4x+2的单调性需用导数法判断；对于性质A，可结合奇函数的性质f（x）+f（-x）=0举出例证，其中函数f（x）=x2+2x-1需用反证法思想推出矛盾．则问题解决．
【解析】
（1）由性质B：“对任意0＜x1＜x2＜1，总有f（x1）＜f（x2）”知，函数f（x）在（0，1）上是增函数．
①∵f（x）=sinx在[0，]上是增函数，∴f（x）=sinx在（0，1）上是增函数．
②∵f（x）=x2+2x-1在[-1，+∞）上是增函数，∴f（x）=x2+2x-1在（0，1）上是增函数．
③∵f′（x）=-3x2+4，且在（-，）上f′（x）＞0，∴f（x）=-x3+4x+2在（-，）上是增函数，∴f（x）=-x3+4x+2在（0，1）上是增函数．
④∵在（0，+∞）上是减函数，∴在（0，1）上是减函数，而不是增函数．
所以排除④．
（2）性质A：存在不相等的实数x1、x2，使得
①对于f（x）=sinx，令x1=1，x2=-1，则=（sin1+sin（-1））=0，f（）=f（0）=sin0=0，
∴f（x）=sinx满足性质A．
③对于f（x）=-x3+4x+2，令x1=1，x2=-1，则=×4=2，f（）=f（0）=2，
∴f（x）=-x3+4x+2满足性质A．
②对于f（x）=x2+2x-1，假设存在不相等的实数x1、x2，使得
则有（x12+2x1-1+x22+2x2-1）=+（x1+x2）-1
化简得（x1-x2）2=0，即x1=x2，这与x1≠x2矛盾．
∴f（x）=x2+2x-1不满足性质A．
所以只有①③同时满足性质A和性质B．
故选B．