Question

某区组织群众性登山健身活动，招募了N名师生志愿者，将所有志愿者现按年龄情况分为15～20，20～25，25～30，30～35，35～40，40～45等六个层次，其频率分布直方图如图所示：已知30～35之间的志愿者共8人．
（Ⅰ）求N和20～30之间的志愿者人数N₁；
（Ⅱ）已知20～25和30～35之间各有2名英语教师，现从这两个层次各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人选中都至少有1名英语教师的概率是多少？
（Ⅲ）组织者从35～45之间的志愿者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的数量为ξ，求ξ的概率和分布列．

Answer

（Ⅰ）设频率分布直方图中6个层次的频率分别为P1，P2，P3，P4，P5，P6P4=0.04×5=0.2，由此能求出N和20～30之间的志愿者人数N1．
（Ⅱ）由p2=0.3∴20～25之间有40×0.3=12人设从20～25之间取2人担任接待工作，其中至少有1名英语教师的事件为B；从30～35之间取2人担任接待工作，其中至少有1名英语教师的事件为C因为两组的选择互不影响，由此能求出两组选出的人选中都至少有1名英语教师的概率．
（Ⅲ） 35～45之间共有5×（0.01+0.02）×40=6人，其中4名女教师，2名男教师从中选取三人，则女教师的数量为ξ的取值可为1，2，3．由此能求出ξ的分布列和数学期望．
【解析】
（Ⅰ）设频率分布直方图中6个层次的频率分别为P1，P2，P3，P4，P5，
P6P4=0.04×5=0.2，
所以．
由题意P1+P2+P3+P4+P5+P6=1，
而P2+P3=1-（P1+P4+P5+P6）=1-5（0.01+0.04+0.02+0.01）=0.6，
所以，20～30之间的志愿者人数N1=40×（P2+P3）=40×0.6=24．
（Ⅱ）∵p2=0.3∴20～25之间有40×0.3=12人，
设从20～25之间取2人担任接待工作，其中至少有1名英语教师的事件为B，
从30～35之间取2人担任接待工作，其中至少有1名英语教师的事件为C，
因为两组的选择互不影响，为相互独立事件，
∴；
…（7分）
B与C为相互独立事件，同时发生可记做BC，
所以，．
（Ⅲ） 35～45之间共有5×（0.01+0.02）×40=6人，其中4名女教师，2名男教师，
从中选取三人，则女教师的数量为ξ的取值可为1，2，3，
所以；；
所以，分布列为

ξ 1 2 3
P（ξ=k）

所以，数学期望为．