Question

如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC；另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD是以O为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），x∈[4，8]时的图象，图象的最高点为B（5，），DF⊥OC，垂足为F．
（I）求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式；
（II）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，水上乐园的面积最大？

Answer

（I）利用函数的解析式，结合函数的图象求出A，ω，通过函数经过B，求出φ，即可求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式；
（II）求出D（4，4），曲线OD的方程为y2=4x，（0≤x≤4）．推出矩形的面积的表达式，利用函数的导数求出面积的最大值，推出P的位置即可．
【解析】
（Ⅰ）对于函数y=Asin（ωx+φ）由图象可知，A=，ω==，
将（5，），代入y=sin（x+φ）得：，
|φ|＜，所以φ=，所以函数的解析式为y=sin（x）．
（Ⅱ）在y=sin（x）中，令x=4，得D（4，4）
从而得曲线OD的方程为y2=4x，（0≤x≤4）．
设点P（）（0≤t≤4），则矩形PMFE的面积为S=，0≤t≤4．
因为S′=4-，由S′=0得t=，且t∈时S′＞0，S递增，
t∈时S′＜0，S递减，
所以当t=，S最大，此时点P的坐标．