本题有(1)、(2)、(3)三个选择题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.
(1).选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵
,A的一个特征值λ=2,其对应的特征向量是
.
(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)若向量
,计算A
2β的值.
(2).选修4-4:坐标系与参数方程
已知椭圆C的极坐标方程为
,点F
1,F
2为其左、右焦点,直线l的参数方程为
(t为参数,t∈R).求点F
1,F
2到直线l的距离之和.
(3).选修4-5:不等式选讲
已知x,y,z均为正数.求证:
.
考点分析:
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已知函数f(x)=lnx,g(x)=e
x.
( I)若函数φ(x)=f(x)-
,求函数φ(x)的单调区间;
(Ⅱ)设直线l为函数的图象上一点A(x
,f (x
))处的切线.证明:在区间(1,+∞)上存在唯一的x
,使得直线l与曲线y=g(x)相切.
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如图所示,某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC;另一侧修建一条观光大道,它的前一段OD是以O为顶点,x轴为对称轴,开口向右的抛物线的一部分,后一段DBC是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
),x∈[4,8]时的图象,图象的最高点为B(5,
),DF⊥OC,垂足为F.
(I)求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式;
(II)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE,问点P落在曲线OD上何处时,水上乐园的面积最大?
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如图,焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B,且
与
共线.
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q,且原点O总在以PQ为直径的圆的内部,求实数m的取值范围.
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某区组织群众性登山健身活动,招募了N名师生志愿者,将所有志愿者现按年龄情况分为15~20,20~25,25~30,30~35,35~40,40~45等六个层次,其频率分布直方图如图所示:已知30~35之间的志愿者共8人.
(Ⅰ)求N和20~30之间的志愿者人数N
1;
(Ⅱ)已知20~25和30~35之间各有2名英语教师,现从这两个层次各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人选中都至少有1名英语教师的概率是多少?
(Ⅲ)组织者从35~45之间的志愿者(其中共有4名女教师,其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的数量为ξ,求ξ的概率和分布列.
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在数列{a
n}中,a
1=2,a
n+l=a
n+cn (n∈N*,常数c≠0),且a
1,a
2,a
3成等比数列.
(I)求c的值;
(Ⅱ)求数列{a
n}的通项公式.
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