Question

在三棱锥P-ABC中，AB=AC=3，AP=4，PA⊥面ABC，∠BAC=90°，D是PA中点，点E在BC上，且BE=2CE，
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求直线DE与PC夹角θ的余弦值；
（3）求点A到平面BDE的距离d的值．

Answer

（1）由题意可得：所以PA⊥AC．因为∠BAC=90°，即AB⊥AC，所以AC⊥面PAB．进而得到AC⊥BD．
（2）建立空间直角坐标系，分别求出两条直线所在的向量，利用向量之间的运算计算出两个向量的夹角，进而转化为两条异面直线的夹角．
（3）设平面BDE的法向量，则，可得，进而利用向量有关射影的知识可得：点A到平面BDE的距离．
证明：（1）因为PA⊥面ABC，AC⊆面ABC，
所以PA⊥AC．
又因为∠BAC=90°，即AB⊥AC，
所以AC⊥面PAB．
因为BD⊆面PAB，
所以AC⊥BD．
【解析】
以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则由已知得：D（0，0，2），E（1，2，0），
所以，，，．
（2）由上可得．
所以直线DE与PC夹角θ的余弦值为：．
（3）设平面BDE的法向量，则，
即：，
令x=2，则可得．
故点A到平面BDE的距离d的值为：．