Question

如图，正方体AC₁的棱长为1，过点A作平面A₁BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（ ）
A．点H是△A₁BD的垂心
B．AH垂直平面CB₁D₁
C．AH的延长线经过点C₁
D．直线AH和BB₁所成角为45°

Answer

如上图，正方体的体对角线AC1有以下性质：
①AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1；②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；③AC1=AB等．
（注：对正方体要视为一种基本图形来看待．）
【解析】
因为三棱锥A-A1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；
易证面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；
连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1⊥平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；
故选D．