Question

如图所示直角梯形ABCD中，∠A=90°，PA⊥面ABCD，AD||BC，AB=BC=a，AD=2a，与底面ABCD成30角．若AE⊥PD，E为垂足，PD与底面成30°角．
（1）求证：BE⊥PD；
（2）求异面直线AE与CD所成的角的大小．

Answer

（1）以A为原点，AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立直角坐标系，根据向量数量积为零可知线线垂直，从而 面BEA，根据线面垂直的性质可知PD⊥BE；
（2）先分别求出向量 ，向量 的坐标，然后利用空间向量的夹角公式求出两向量的夹角的余弦值，即为AE与CD所成角的余弦值；
【解析】
为了计算方便不妨设a=1．
（1）证明：根据题意可得：以A为原点，AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立直角坐标系（如图）
则
又
所以 面BEA，BE⊂面BEA，
∴PD⊥BE
（2）∵PA⊥面ABCD，PD与底面成30°角，
∴∠PDA=30°
过E作EF⊥AD，垂足为F，则AE=AD•sin30°=1，∠EAF=60°
，
于是
又
则
∴AE与CD所成角的余弦值为 ．