Question

如图，PA、PB、PC两两垂直，G是△PAB的重心，E是BC上的一点，且CE=BC，F是PB上的一点，且PF=PB
（1）求证：GE||平面PAC；
（2）求证：GF⊥平面PBC．

Answer

（1）欲证GE||平面PAC，根据线面平行的判定定理可知只需在平面PAC中找一直线与GE平行即可，而连接 BG和PG，并延长分别交PA、AB于M和D，连接FE，根据重心的性质可知在△BMC中GE||MC，GE⊄平面PAC，MC⊂平面PAC，满足定理所需条件；
（2）根据PA、PB、PC两两垂直，则PA⊥平面PBC，而根据重心的性质可知GF∥PA，最后根据平行线的性质可得结论．
证明：（1）连接 BG和PG，并延长分别交PA、AB于M和D，连接FE
在△PAB中，∵G是△PAB的重心，∴MG=MB，
又，所以在△BMC中GE||MC，GE⊄平面PAC，MC⊂平面PAC∴GE||平面PAC
（2）在△PAB中，∵G是△PAB的重心，
∴MG=MB，∵PF=PB，∴GF∥PM
又PA、PB、PC两两垂直，∴PA⊥平面PBC，
则GF⊥平面PBC