Question

设双曲线的顶点是椭圆的焦点，该双曲线又与直线交于两点A、B且OA⊥OB（O为原点）．
（1）求此双曲线的标准方程； 
（2）求|AB|的长度．

Answer

（1）利用条件双曲线的顶点是椭圆的焦点，可以假双曲线的方程为，再结合条件OA⊥OB，可求双曲线的标准方程；（2）求|AB|的长度，利用两点间的距离公式求解．
【解析】
（1）椭圆的焦点为（0，±1），依题意设双曲线的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴15x1x2=9y1y2-18（y1+y2）+36，
∴
由 OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴4y1y2-3（y1+y2）+6=0…①
由，∴（15b2-9）y2+36y-（15b2+36）=0…②
∴，代入①中得b2=3∴双曲线的方程为
（2）将b2=3代入②式中，得4y2+4y-9=0，
∴=