Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，左焦点为F，左准线与x轴的交点为M，．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）过左焦点F且斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，若，求椭圆的方程．

Answer

（1）先求出左焦点F、左准线与x轴的交点M的坐标，由，得出a和c的关系，从而求出离心率的值．
（2）点斜式设出直线AB的方程，由离心率的值设出椭圆的方程，将这两个方程联立方程组，应用根与系数的关系，由解出椭圆方程中的待定系数，从而求出椭圆的方程．
【解析】
（1）设椭圆方程为．
由，有．（3分）
则有，即，∴．（6分）
（2）设直线AB的方程为，直线AB与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．
由（I）可得a2=4c2，b2=3c2．
由 消去y，得11x2+16cx-4c2=0．（9分）
故 ． 
∵，
且y1•y2=2（x1+c）（x2+c）=2x1x2+2c（x1+x2）+2c2．
∴3x1x2+2c（x1+x2）+2c2=-2．（11分）
即，∴c2=1．则a2=4，b2=2．
椭圆的方程为．（13分）