Question

已知圆的圆心为M，圆（x-2）²+y²=的圆心为N，一动圆与这两圆都外切．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）若过点N的直线l与（1）中所求轨迹有两交点A、B，求的取值范围．

Answer

（1）利用两个圆相外切的充要条件列出两个几何条件，令两个式子相减；再利用双曲线的定义判断出动圆圆心P的轨迹是双曲线，写出双曲线的方程．
（2）分直线的斜率存在于不存在，设出直线的方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理列出关于k的不等式，求出k的范围，利用向量的数量积公式将用k表示，求出k的范围．
【解析】
（1）设动圆P的半径为r，
则|PM|=，
相减得|PM|-|PN|=2
由双曲线定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右支，
其双曲线方程为
（2）当直线l的斜率存在时，设为k，则

设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，，=4+2（x1+x2）+x1x2+k2（x1-2）（x2-2）=
当直线的斜率不存在时，x1=x2=2⇒y1=3，y2=-3
所以，，
综合得