Question

设函数．
（Ⅰ）求函数f（x）在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，f′（B）=3且a+c=2，求边长b的最小值．

Answer

（Ⅰ）确定切点坐标，求导函数求斜率，即可求得切线方程；
（Ⅱ）先求B，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得边长b的最小值．
【解析】
（Ⅰ）当x=0时，f（0）=1-，则切点为（0，1-）
∵，∴f′（0）=2
∴函数f（x）在x=0处的切线方程为y-（1-）=2（x-0），即y=2x+（1-）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（B）=2sin（B+）+1=3，即sin（B+）=1，∴
由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=4-3ac≥4-3•=4-3=1
当且仅当a=c=1时，取等号
∴b2≥1，
∵b＞0，∴b≥1，
∴bmin=1．