Question

在△ABC中，角A、B、C的边长分别为a、b、c，S为△ABC的面积．
（Ⅰ）若4S=a²+b²-c²，求角C；
（Ⅱ）若，试判断△ABC的形状．

Answer

（Ⅰ）利用余弦定理得到a2+b2-c2=2abcosC，利用三角形的面积公式表示出S，代入已知的等式中求出tanC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出S，利用余弦定理得到c2=a2+b2-2abcosC，分别代入已知的等式中，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用基本不等式变形，根据正弦函数的值域，得到sin（C+）=1，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，将C的度数代入得到a=b，即可确定出三角形ABC为等边三角形．
【解析】
（Ⅰ）由余弦定理得：a2+b2-c2=2abcosC，且S=absinC，
∴4S=a2+b2-c2=2abcosC=4×absinC，即tanC=1，
∵C为三角形的内角，
∴C=；
（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，4S=a2+b2+c2，
∴4S=4×absinC=a2+b2+a2+b2-2abcosC，即absinC+abcosC=a2+b2，
∴2absin（C+）=a2+b2≥2ab，即sin（C+）≥1，
∴sin（C+）=1，
∵C+∈（，），∴C+=，即C=，
将C=代入得：2ab=a2+b2，即a=b，
则△ABC为等边三角形．