Question

已知函数为实数）
（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（Ⅱ）若方程F（x）=f（x）-g（x）=0在区间[1，e²]上有解，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）已知，求证：数列{a_n}的前n项和．

Answer

（Ⅰ）把a=1代入g（x）可以得到F（x），对其进行求导，求出极值点，研究其单调性，从而求出最小值；
（Ⅱ）不知道a的值，同样对F（x）进行求导，根据方程F（x）=f（x）-g（x）=0在区间[1，e2]上有解，说明F（x）=0，有解，分离常数可得a=2x-xlnx，令h（x）=2x-xlnx，利用导数研究函数h（x）的值域即可；
（Ⅲ）已知，对其进行代入求出通项公式an，利用第一问的结论lnx≥1-，利用此不等式进行放缩证明即可；
【解析】
（Ⅰ）当a=1时，F（x）=f（x）-g（x）=lnx+-2，
F′（x）=+=，令F′（x）=0，得x=1，
F（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
所以F（x）的最小值为-1；
（Ⅱ）F（x）=f（x）-g（x）=lnx+-2=0，x∈[1，e2]
∴a=2x-xlnx，h′（x）=2-1-lnx=1-lnx，
令h′（x）=0，解得x=e，列表，

∴a∈[0，e]；
（Ⅲ）设an=2f（2n+1）-f（n）-f（n+1）=2ln（2n+1）-lnn-ln（n+1）=ln
由（Ⅰ）知lnx≥1-（当且仅当x=1时取等号），
∴an＞1-=+＞+
=+（-），
Sn-＞n+（+-+…+-）=+（-）≥+（）=+；