Question

已知函数f（x）=x³+ax²-2x+5在上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，且函数f（x）的导数记为f'（x），则下列结论正确的是    ．（填序号）
①是方程f'（x）=0的根；②1是方程f'（x）=0的根；③有极小值f（1）；④有极大值； ⑤．

Answer

对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax-2，由题意可得f′（1）=0，则可得a=-可判断⑤
，f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1）可判断①②
由函数f（x）=x3+ax2-2x+5在上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，可判断③
由函数f（x）=x3+ax2-2x+5在上单调递减，在（1，+∞），上单调递增可判断④
【解析】
∵f′（x）=3x2+2ax-2
由函数f（x）=x3+ax2-2x+5在上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
可知f′（1）=0即2a+1=0
∴a=-
∴，f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1）
①x=-是方程的根，正确
②x=1是方程的根，正确
③由函数f（x）=x3+ax2-2x+5在上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，可知x=1是函数的极小值，③正确
④令f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1）＞0，可得
f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1）＜0可得，
则函数f（x）=x3+ax2-2x+5在上单调递减，在（1，+∞），上单调递增，故为函数的极大值，④正确
⑤正确
故答案为：①②③④⑤