Question

把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为xcm的相等的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数k（k＞0），
（1）用x和k表示出长方体的体积的表达式V=V（x），并给出函数的定义域；
（2）问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？

Answer

（1）设长方体高为xcm，则底面边长为（60-2x）cm，（0＜x＜30），从而可得长方体容积的函数表达式，利用长方体的高度与底面边长的比值不超过常数k（k＞0），可求函数定义域；
（2）对（1）中的函数表达式求导，确定函数的极值点，结合函数的定义域，分类求出V的最大值．
【解析】
（1）设长方体高为xcm，则底面边长为（60-2x）cm，（0＜x＜30），
所以长方体容积V=V（x）=x（60-2x）2=4x（x-30）2；…（4分）
∵，∴．
即函数定义域为，…（6分）
（2）V′（x）=4（x-30）2+8x（x-30）=4（x-30）（3x-30）=12（x-30）（x-10）
令V′（x）=0，解得x=10，x=30（不合题意舍去）于是     …（8分）

x （0，10） 10 （10，30）
V'（x） + -
V（x） ↑ ↓

①当，在x=10时，V取得最大值为Vmax=40•202=16000；                  …（10分）
②当，V取得最大值．…（12分）