Question

抛物线方程为y²=p（x+1）（p＞0），直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边．
（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；
（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，
求p关于m的函数f（m）的表达式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线焦点F到直线x+y=m的距离为，
求此直线的方程．

Answer

（1）抛物线y2=p（x+1）的准线方程是x=-1-，直线x+y=m与x轴的交点为（m，0），由题设交点在准线右边，得4m+p+4＞0．由，得x2-（2m+p）x+（m2-p）=0．由此得到直线与抛物线总有两个交点．
（2）设Q、R两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由（1）知，x1、x2是方程x2-（2m+p）x+m2-p=0的两根，所以x1+x2=2m+p，x1•x2=m2-p．由OQ⊥OR，得kOQ•kOR=-1，因而y1=-x1+m，y2=-x2+m．由此能求出函数f（m）的表达式．
（3）由于抛物线y2=p（x+1）的焦点F坐标为（-1+，0），得|p-4m-4|=4．由p=，知||=4．由此能够推导出所求的直线方程．
【解析】
（1）抛物线y2=p（x+1）的准线方程是x=-1-，
直线x+y=m与x轴的交点为（m，0），
题设交点在准线右边，
得m＞-1-，即4m+p+4＞0．
由，
得x2-（2m+p）x+（m2-p）=0．
而判别式△=（2m+p）2-4（m2-p）=p（4m+p+4）．
又p＞0及4m+p+4＞0，
可知△＞0．
因此，直线与抛物线总有两个交点；                  …（4分）
（2）设Q、R两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
由（1）知，x1、x2是方程x2-（2m+p）x+m2-p=0的两根，
∴x1+x2=2m+p，x1•x2=m2-p．
由OQ⊥OR，得kOQ•kOR=-1，
即有x1x2+y1y2=0．
又Q、R为直线x+y=m上的点，
因而y1=-x1+m，y2=-x2+m．
于是x1x2+y1y2=2x1x2-m（x1+x2）+m2=2（m2-p）-m（2m+p）+m2=0，
∴p=f（m）=，
由，
得m＞-2，m≠0；…（9分）
（3）由于抛物线y2=p（x+1）的焦点F坐标为（-1+，0），
于是有，
即|p-4m-4|=4．
又p=，
∴||=4．
解得m1=0，m2=-，m3=-4，m4=-．
但m≠0且m＞-2，因而舍去m1、m2、m3，
故所求直线方程为3x+3y+4=0．…（14分）