Question

已知曲线C：与函数f（x）=log_ax及函数g（x）=a^x，（其中a＞1）的图象分别交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁²+x₂²的值为（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2

Answer

曲线C：以原点为圆心以2为半径在y轴右侧的半圆，函数f（x）=logax及函数g（x）=ax互为反函数，由反函数的对称性可知x2=y1，再根据A（x1，y1）在曲线C上可知x12+y12=x12+x22=4．
【解析】
∵，∴x2+y2=4（0≤x≤2），
∵曲线C：与函数f（x）=logax及函数g（x）=ax，（其中a＞1）的图象分别交于A（x1，y1）、B（x2，y2），且函数f（x）=logax及函数g（x）=ax互为反函数，
∴A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x对称，
∴x2=y1．∵A（x1，y1）在曲线C上，
∴x12+y12=x12+x22=4．
故答案是4．