Question

设函数f（x）定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么就称y=f（x）为“成功函数”．若函数g（x）=log_a（a^2x+t）（a＞0，a≠1）是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围为（ ）
A．（0，+∞）
B．（-∞，0）
C．
D．

Answer

根据“成功函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解．
【解析】
依题意，函数g（x）=loga（a2x+t）（a＞0，a≠1）在定义域上为单调递增函数，且t≥0，
而t=0时，g（x）=2x不满足条件②，
∴t＞0．设存在[m，n]，使得g（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，
∴，即，
∴m，n是方程（ax）2-ax+t=0的两个不等实根，
∴△=1-4t＞0，
∴，
故选D．