Question

已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．

Answer

证法一：两次利用基本不等式放小，此处不用考虑等号成立的条件，因等号不成立不影响不等号的传递性．
证法二：先用基本不等式推出a2+b2+c2≥ab+bc+ac与两者之和用基本不等式放小，整体上只用了一次放缩法．其本质与证法一同．
证明：
（证法一）
因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得①
所以②（6分）
故．
又③
所以原不等式成立．（8分）
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立．当且仅当时，③式等号成立．
即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．（10分）
（证法二）
因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①
同理②（6分）
故③

所以原不等式成立．（8分）
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab）2=（bc）2=（ac）2=3时，③式等号成立．
即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．（10分）