已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．（1）展开式中是否有常数项？...

已知

的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
（1）展开式中是否有常数项？若有请求出常数项，若没有请说明理由；
（2）求展开式中所有的有理项．

（1）利用二项展开式的通项公式求出前三项的系数，列出方程求出n，再利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0得到常数项，即可说明展开式中有没有常数项．（2）令展开式中的x的指数为有理数，求出k值，再求出相应的有理项．【解析】依题意，前三项系数的绝对值是1，C1n（），C2n（）2，且2C1n•=1+C2n（）2，即n2-9n+8=0，∴n=8（n=1舍去）， ∴展开式的第k+1项为Ck8（）8-k（-）k =（-）kCk8•=（-1）k•Ck8•．（1）证明：若第k+1项为常数项，当且仅当=0，即3k=16， ∵k∈Z，∴这不可能， ∴展开式中没有常数项．（2）若第k+1项为有理项，当且仅当为整数， ∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，即展开式中的有理项共有三项，它们是： T1=x4，T5=x，T9=x-2．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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