Question

（1）求值：（C₂）²+（C₂¹）²+（C₂²）²，C₄²；（C₃）²+（C₃¹）²+（C₃²）²+（C₃³）²，C₆³；
（2）由（1）中计算结果能得到（C_n）²+（C_n¹）²+…+（C_nⁿ）²和C_2nⁿ相等吗，试证明你的结论．

Answer

（1）根据题意，求出组合数的值，进而依次计算可得答案；
（2）由（1）可以推测：（Cn）2+（Cn1）2+…+（Cnn）2=C2nn，进而用数学模型进行证明：构造从2n个球中取出n个球的模型，有2种取法，①、直接取，由组合数公式可得其取法，②、将2n个球平均分成2组，每组n个，按取球的个数不同分情况讨论，由分类计数原理可得情况取法数目；令两种取法所得的组合数相等可得证明．
【解析】
（1）根据题意，（C2）2+（C21）2+（C22）2=1+4+1=6，C42=6，
（C3）2+（C31）2+（C32）2+（C33）2=1+9+9+1=20，C63==20，
（2）由（1）可以推测：（Cn）2+（Cn1）2+…+（Cnn）2=C2nn，
用数学模型法证明如下：从2n个球中取出n个，
第一种方法，直接取出，由组合数公式可得，有C2nn种取法，
另外还有一种取法：将2n个球平均分成2组，每组n个；
从两组中取出n个球，分n+1种情况讨论，1°全部从第2组取得，则从第1组取出0个，有CnnCn=（Cn）2种，
2°从第1组取1个，则从第2组取出n-1个，有Cn1Cnn-1=（Cn1）2种，
3°从第1组取2个，则从第2组取出n-2个，有Cn2Cnn-2=（Cn2）2种，
…
n+1°全部从第1组取得，则从第2组取出0个，有CnnCn=（Cnn）2种，
共有（Cn）2+（Cn1）2+…+（Cnn）2种，
即可得（Cn）2+（Cn1）2+…+（Cnn）2=C2nn．