Question

已知f_k（x）=（n-k+1）x^n-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=C_n°f（x²）+C_n¹f₁（x²）+…+C_n^kf_k（x²）+…+C_nⁿf_n（x²），x∈[-1，1]
（1）试用n，k表示：F（1），F（0）
（2）证明：F（1）-F（0）≤2^n-1（n+2）

Answer

（1）由条件求出fk（1）的值，进而求得F（1）的解析式，再把F（1）倒序书写，将这两个式子相加再除以2，利用二项式系数的性质求出F（1）的值．根据fk（0）的值求得F（0）的值．
（2）由于F（1）-F（0）=F（1）-0≤F（1），证得结论．
【解析】
（1）fk（1）=（n-k+1），fk（0）=0
F（1）=Cn°f（1）+Cn1f1（1）+…+Cnkfk（1）+…+Cnnfn（1）
=Cn°（n+1）+Cn1 （n）+…+Cnk （n-k+1）+…+Cnn ×1，①
把F（1）倒序书写可得
F（1）=Cnn ×1++…+ （k+1）+…+Cn1 （n）+Cn°（n+1），②
把①和②相加可得2F（1）=（n+2）（ Cn°+Cn1 +…+Cnk +…+Cnn ）=（n+2）2n，
故F（1）=（n+2）2n-1 ．
F（0）=Cn°f（0）+Cn1f1（0）+…+Cnkfk（0）+…+Cnnfn（0）=0．
（2）证明：F（1）-F（0）=（n+2）2n-1 -0≤（n+2）2n-1 ，故不等式成立．