Question

已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若=（-cos，sin），=（cos，sin），a=2，且=，求：
（Ⅰ）若△ABC的面积S=，求b+c的值．
（Ⅱ）求b+c的取值范围．
（III）求△ABC的面积的最大值．

Answer

根据平面向量的数量积运算法则计算，再利用二倍角的余弦函数公式得到cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，
（Ⅰ）由求出A的度数求出sinA的值，根据△ABC的面积S=，把sinA的值代入面积公式即可求出bc=4，然后根据A的度数求出cosA的值，由a的长，利用余弦定理表示出a2，配方后可得另外一个关于b与c关系式，记作②，把bc的值代入②即可求出b+c的值；
（Ⅱ）由第一问表示的关系式②配方得到的关系式，利用基本不等式即可求出b+c的最大值，然后再根据三角形的两边之和大于第三边可得b+c大于a，由a的值，即可得到b+c大于2，进而得到b+c的范围；
（III）由第一问表示出的关系式②利用基本不等式求出bc的最大值，把bc的最大值及sinA的值代入三角形的面积公式即可求出面积的最大值．
【解析】
∵=-+=，∴-cosA=，∴cosA=-，∴A=120°，
（Ⅰ）∵S==bc•sin120°，∴bc=4①，
又根据余弦定理得：a2=b2+c2-2bc•（-），
∴12=b2+c2+bc=（b+c）2-bc②，
由①②得：（b+c）2=16，∴b+c=4；
（Ⅱ）由②得：12=b2+c2+bc=（b+c）2-bc，
而bc≤（b=c时，取“=”），
∴（b+c）2-≤12，
∴（b+c）2≤16，
∴b+c≤4，
而三角形的两边之和大于第三边，
于是有2＜b+c≤4；
（III）由②得：12=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc（b=c时，取“=”），
∴bc≤4，
∴S△ABC=bc•sin120°≤×4×=，
∴Smax=．